今回は、微分・積分〜有限要素法の始まりまでについて記します。

といっても他書に記されているような、一般的な微分と積分の話だけではありません。
何と言ってもこのコーナーは技術こぼれ話ですので。

微分と積分は、ニュートンが考案したと思っておられるかたが多いのでは
ないかと思います。実は同じころ、ライプニッツという数学者も微分と積分を
考案していたのです。17世紀の話です。

この頃から、微分・積分を考案したのはニュートンが先かライプニッツが先かと
いうことが問題視され、その後も主にそれぞれの派の後継者によりこの論争が
行われているということで、いまだに決着していないようです。

我々エンジニアも微分・積分の恩恵に浴しているの御存じの通り。

さて、微分とは言葉で簡単に表すとどうなるのであろうか？　

通常は速度を例にして、平均速度だけでは移動している物体の運動を正確に
表せないので、各時点での瞬時速度を考えなくてはならない、ということで
微分が必要になると説明されている場合が多い。

これはパラメータが時間になっている場合であり、パラメータが場所（x, y, z）
になったらどうなるのであろうか？　パラメータが場所になる場合を想像できますか？

例えば、任意の物体（連続体）を考える。この物体には材料力学における仮定である
等方性などが成立していると考える。

すると、この物体中の任意の場所における微小体積に働く力学現象は、この物体中では
どの場所でも等しく成立しているということになる。

この微小体積に働く力学現象は場所をパラメータとする微分で表すことができる。この微分で表された式、
すなわち微分方程式（偏微分方程式）をその物体の領域全体で積分すると、
領域全体で成立している式を求めることができる。

参考までに記すと、この領域全体で成立している偏微分方程式を「場の支配方程式」と呼ぶ。

今は、力学の場合の場の支配方程式について触れたが、【場】には音場、電磁場
重力場などいろいろな場が存在するので、それぞれが場の支配方程式をもつことになる。

このように場の支配方程式は、偏微分方程式で表されるので、手計算で解くことが
できないというのが通り相場である。

手計算で解けないのなら、コンピュータを使用して近似解を求めよう、ということで
登場したのが、1950年代末に研究開発された有限要素法（Finite Element Method：FEM）である。